Pravdepodobnosť je základný koncept v matematike a štatistike, ktorý nám umožňuje kvantifikovať neistotu. V praxi sa s ňou stretávame denne, či už pri rozhodovaní, alebo pri analýze rôznych situácií. Tento článok sa zameriava na praktické príklady riešenia úloh z oblasti pravdepodobnosti, ktoré pokrývajú rôzne aspekty tejto disciplíny.
Najčastejšie pri riešení úloh z pravdepodobnosti využívame základný vzorec:
P(A) = počet priaznivých možností / počet všetkých možností
kde P(A) predstavuje pravdepodobnosť udalosti A. Tento vzorec je platný vtedy, ak sú všetky možné výsledky rovnako pravdepodobné.
Pre zložitejšie úlohy, kde sa vyberá viacero prvkov naraz a nezáleží na poradí výberu, sa používa kombinačné číslo, známe aj ako kombinačné číslo alebo kombinačná funkcia. Vzorec pre kombinačné číslo je:
C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)
kde 'n' je celkový počet prvkov a 'k' je počet prvkov, ktoré vyberáme. Tento vzorec nám pomáha vypočítať počet možných kombinácií.
1. Príklad: Výber lístka
Z lístkov očíslovaných číslami 75 až 100 náhodne vytiahneme jeden lístok. Celkový počet lístkov je 100 - 75 + 1 = 26.
a) Aká je pravdepodobnosť, že na lístku bude párne číslo?
V tomto intervale sa nachádza 13 párnych čísel (76, 78, ..., 100).P(párne číslo) = 13 / 26 = 1 / 2 = 0,5
b) Aká je pravdepodobnosť, že na lístku bude číslo deliteľné 4?
Čísla deliteľné 4 v intervale 75 až 100 sú: 76, 80, 84, 88, 92, 96, 100. Je ich 7.P(deliteľné 4) = 7 / 26 ≈ 0,269
c) Aká je pravdepodobnosť, že na lístku bude číslo deliteľné 5?
Čísla deliteľné 5 v tomto intervale sú: 75, 80, 85, 90, 95, 100. Je ich 6.P(deliteľné 5) = 6 / 26 = 3 / 13 ≈ 0,231
d) Aká je pravdepodobnosť, že na lístku bude nepárne číslo väčšie ako 88?
Nepárne čísla väčšie ako 88 sú: 89, 91, 93, 95, 97, 99. Je ich 6.P(nepárne > 88) = 6 / 26 = 3 / 13 ≈ 0,231
2. Príklad: Hody dvoma kockami
Pri hode dvoma kockami (žltou a modrou) je celkový počet možných výsledkov 6 * 6 = 36.
a) Aká je pravdepodobnosť, že padne súčet 8?
Možnosti pre súčet 8 sú: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2). Je ich 5.P(súčet 8) = 5 / 36 ≈ 0,139
b) Aká je pravdepodobnosť, že na oboch kockách padne rovnaké číslo?
Možnosti pre rovnaké čísla sú: (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6). Je ich 6.P(rovnaké čísla) = 6 / 36 = 1 / 6 ≈ 0,167
c) Aká je pravdepodobnosť, že súčet bude 13?
Najväčší možný súčet pri hode dvoma kockami je 12. Preto nie je možné dosiahnuť súčet 13.P(súčet 13) = 0
d) Aká je pravdepodobnosť, že súčet bude menší ako 13?
Každý možný súčet pri hode dvoma kockami je menší alebo rovný 12, teda vždy menší ako 13.P(súčet < 13) = 36 / 36 = 1
3. Príklad: Porovnanie pravdepodobností súčtov
Čo je pravdepodobnejšie: pri hode dvoma kockami padne súčet 11 alebo súčet 12?
Pre súčet 11:
Možnosti sú: (5, 6), (6, 5). Sú 2 možnosti.P(súčet 11) = 2 / 36
Pre súčet 12:
Možnosť je: (6, 6). Je 1 možnosť.P(súčet 12) = 1 / 36
Preto je pravdepodobnejšie, že padne súčet 11.
4. Príklad: Výber chybných súčiastok
V debne je 10 súčiastok, z toho 3 sú chybné. Náhodne vyberieme 4 súčiastky. Použijeme kombinačné číslo.
a) Aká je pravdepodobnosť, že medzi nimi bude 0 chybných súčiastok?
To znamená, že vyberieme 4 dobré súčiastky zo 7 dobrých.P(0 chybných) = C(7, 4) / C(10, 4) = 35 / 210 = 1 / 6 ≈ 0,167
b) Aká je pravdepodobnosť, že medzi nimi bude práve 1 chybná súčiastka?
Vyberieme 1 chybnú z 3 a 3 dobré zo 7.P(1 chybná) = C(3, 1) · C(7, 3) / C(10, 4) = 3 · 35 / 210 = 105 / 210 = 0,5
c) Aká je pravdepodobnosť, že medzi nimi bude práve 2 chybné súčiastky?
Vyberieme 2 chybné z 3 a 2 dobré zo 7.P(2 chybné) = C(3, 2) · C(7, 2) / C(10, 4) = 3 · 21 / 210 = 63 / 210 = 0,3
d) Aká je pravdepodobnosť, že medzi nimi bude práve 4 chybné súčiastky?
Nie je možné vybrať 4 chybné súčiastky, keď sú k dispozícii len 3.P(4 chybné) = 0
KOMBINAČNÉ ČÍSLO - vysvetlenie, vlastnosti
5. Príklad: Loto
V lotérii sa žrebuje 5 čísel spomedzi 35. Za tri uhádnuté čísla sa vypláca piata cena. Aká je pravdepodobnosť, že trafíme presne 3 čísla?
Predpokladajme, že máme jeden tiket s 5 číslami.
Aby sme trafili presne 3 čísla, musíme vybrať 3 čísla z našich 5 a 2 čísla z ostatných 30 (35 - 5 = 30).
P(presne 3 čísla) = C(5, 3) · C(30, 2) / C(35, 5)
P = 10 · 435 / 324632 = 4350 / 324632 ≈ 0,0134
6. Príklad: Hracie karty
Z 32 hracích kariet vyberieme 5 kariet. Aká je pravdepodobnosť, že práve tri z nich budú zelené?
V štandardnom balíčku 32 kariet je jedna farba zastúpená 8 kartami.
Máme 8 zelených kariet a 24 nezelených kariet.
P(práve 3 zelené) = C(8, 3) · C(24, 2) / C(32, 5)
P ≈ 0,077
7. Príklad: Výber žiakov z triedy
V triede je 24 dievčat a 16 chlapcov. Celkovo je v triede 24 + 16 = 40 žiakov.
a) Aká je pravdepodobnosť, že pri žrebovaní dvoch žiakov bude 1 chlapec a 1 dievča?
P(1 chlapec, 1 dievča) = C(16, 1) · C(24, 1) / C(40, 2)
P = 16 · 24 / 780 = 384 / 780 ≈ 0,492
b) Aká je pravdepodobnosť, že pri žrebovaní štyroch žiakov budú 2 dievčatá a 2 chlapci?
P(2 dievčatá, 2 chlapci) = C(24, 2) · C(16, 2) / C(40, 4)
P ≈ 0,362
8. Príklad: Výber zástupcov
Z 12 mužov a 14 žien sa žrebujú traja zástupcovia. Celkovo je 12 + 14 = 26 osôb.
a) Aká je pravdepodobnosť, že to budú samé ženy?
P(samé ženy) = C(14, 3) / C(26, 3)
P = 364 / 2600 = 0,14
b) Aká je pravdepodobnosť, že to budú dve ženy a jeden muž?
P(2 ženy, 1 muž) = C(14, 2) · C(12, 1) / C(26, 3)
P = 91 · 12 / 2600 = 1092 / 2600 = 0,429
9. Príklad: Guľôčky v klobúku
V klobúku je 5 bielych, 4 čierne a 3 modré guľôčky. Celkovo je 5 + 4 + 3 = 12 guľôčok. Aká je pravdepodobnosť, že z troch náhodne vytiahnutých guľôčok budú všetky tri rôznych farieb?
Chceme vytiahnuť 1 bielu, 1 čiernu a 1 modrú guľôčku.
Počet priaznivých možností: C(5, 1) · C(4, 1) · C(3, 1) = 5 · 4 · 3 = 60
Počet všetkých možností: C(12, 3) = 220
P(všetky rôznych farieb) = 60 / 220 = 3 / 11 ≈ 0,273
10. Príklad: Chybné páry topánok
V zásielke je 100 párov topánok, z ktorých je 5 párov chybných. Kontrolór náhodne vyberie 5 párov. Aká je pravdepodobnosť, že práve 2 páry z nich budú chybné?
Máme 5 chybných párov a 95 dobrých párov.
P(práve 2 chybné) = C(5, 2) · C(95, 3) / C(100, 5)
P ≈ 0,0184
11. Príklad: Žiaci bez vyriešeného príkladu
V triede je 30 žiakov, 7 z nich nemá vyriešený príklad. Učiteľ náhodne vyvolá 6 žiakov. Aká je pravdepodobnosť, že presne 4 z vyvolaných žiakov budú mať vyriešený príklad a 2 ho nebudú mať?
Máme 23 žiakov s vyriešeným príkladom a 7 žiakov bez vyriešeného príkladu.
P(4 vyriešené, 2 nevyriešené) = C(23, 4) · C(7, 2) / C(30, 6)
P ≈ 0,313
12. Príklad: Hokejisti na striedačke
Po vystriedaní si na striedačke náhodne sadlo vedľa seba päť hokejistov. Aká je pravdepodobnosť, že dvaja najlepší strelci z tejto pätice budú sedieť vedľa seba?
Celkový počet možných usporiadaní 5 hokejistov je 5!.
Dvoch najlepších strelcov môžeme považovať za jeden blok. V tomto prípade máme 4 objekty na usporiadanie (blok dvoch strelcov a zvyšní 3 hráči). Títo 4 objekty môžeme usporiadať 4! spôsobmi. V rámci bloku sa dvaja strelci môžu prehodiť dvoma spôsobmi (2!).
Počet priaznivých usporiadaní = 4! · 2!
P(najlepší strelci vedľa seba) = (4! · 2!) / 5! = (24 · 2) / 120 = 48 / 120 = 0,4
13. Príklad: Dievčatá v kine
5 dievčat si sadlo do kina vedľa seba. Aká je pravdepodobnosť, že najstaršia z nich bude sedieť v strede?
Existuje 5 možných miest na sedenie. Stredné miesto je len jedno.
Najstaršia môže sedieť rovnako pravdepodobne na ktoromkoľvek z 5 miest.
P(najstaršia v strede) = 1 / 5 = 0,2
14. Príklad: Fotografie na polici
Na polici sú štyri rôzne, náhodne uložené fotografie. Aká je pravdepodobnosť, že dve najnovšie z nich budú vedľa seba?
Celkový počet možných usporiadaní 4 fotografií je 4!.
Dve najnovšie fotografie považujeme za jeden blok. Potom usporadúvame 3 objekty (blok dvoch fotografií a zvyšné 2 fotografie). Tieto 3 objekty môžeme usporiadať 3! spôsobmi. V rámci bloku sa dve fotografie môžu prehodiť dvoma spôsobmi (2!).
Počet priaznivých usporiadaní = 3! · 2!
P(dve najnovšie vedľa seba) = (3! · 2!) / 4! = (6 · 2) / 24 = 12 / 24 = 0,5
tags: #pravdepodobnostr #priklady #sos
