Gotický štvorlístok je fascinujúci ornament, ktorý nachádzame v architektúre a umení. Jeho krása spočíva nielen v estetickej hodnote, ale aj v zaujímavých matematických princípoch, ktoré ho definujú. V tomto článku sa ponoríme do matematiky za týmto ornamentom a preskúmame, ako sa dajú vypočítať jeho rozmery.
Gotický štvorlístok je ornament, v ktorom sú do väčšej kružnice vpísané štyri rovnaké dotýkajúce sa menšie kružnice, ako vidíte na obrázku. Polomer veľkej kružnice je jeden meter. Vypočítajte v metroch polomer menšej kružnice.
Prezentovaný problém sa týka geometrického usporiadania. Máme väčšiu kružnicu a v nej štyri menšie, rovnako veľké kružnice, ktoré sa navzájom dotýkajú a zároveň sa dotýkajú aj obvodovej kružnice. Kľúčom k vyriešeniu tejto úlohy je pochopenie vzťahu medzi polomerom väčšej kružnice a polomerom menších kružníc.
Geometrické princípy
Predstavme si stred väčšej kružnice. Ak spojíme stredy dvoch susedných menších kružníc a stred väčšej kružnice, vytvoríme rovnoramenný trojuholník. Ďalej, ak spojíme stredu dvoch susedných menších kružníc, táto úsečka bude mať dĺžku rovnú dvojnásobku polomeru menšej kružnice (pretože sa dotýkajú).
V prípade, keď sú štyri menšie kružnice usporiadané symetricky v rámci väčšej kružnice, môžeme predstaviť štvorec, ktorého vrcholy tvoria stredy menších kružníc. Uhlopriečka tohto štvorca bude prechádzať stredom väčšej kružnice.
Dôležitým faktom je, že dotyčnica väčšej kružnice s dĺžkou 10 cm je zároveň dotyčnicou menšej kružnice. Táto informácia nám pomáha pri výpočtoch, keďže tetiva väčšej kružnice a polomer menšej kružnice tvoria pravouhlý trojuholník. Dĺžka tetivy - jej polovica vytvorí spolu s polomerom kružnice pravouhlý trojuholník.
Riešenie
Nech $R$ je polomer väčšej kružnice a $r$ je polomer menšej kružnice.
V prípade gotického štvorlístka, kde sú štyri menšie kružnice vpísané do väčšej kružnice tak, že sa navzájom dotýkajú, platí vzťah:
$R = r \sqrt{2} + r$
alebo zjednodušene:
$R = r(\sqrt{2} + 1)$
Z tohto vzťahu môžeme vypočítať polomer menšej kružnice $r$, ak poznáme polomer väčšej kružnice $R$:
$r = \frac{R}{\sqrt{2} + 1}$
Po úprave (rozšírením zlomku konjugovaným výrazom) dostaneme:
$r = R(\sqrt{2} - 1)$
V našom zadaní je polomer veľkej kružnice $R = 1$ meter.
Dosadením do vzorca:
$r = 1 \times (\sqrt{2} - 1)$
$r \approx 1 \times (1.414 - 1)$
$r \approx 0.414$ metra
Teda, polomer menšej kružnice je približne 0.414 metra.
Súvisiace úlohy
Téma sústredných kružníc a výpočtov ich plôch je častou témou v geometrii. Pozrime sa na niekoľko príkladov:
- Medzikružie: Dve sústredné kružnice tvoria medzikružie šírky 10 cm. Polomer menšej kružnice je 20 cm. Vypočítajte obsah medzikružia.
- Sústredné kružnice: Je daný kruh K s polomerom r = 8 cm. Aký veľký polomer musí mať menšia sústredná kružnica, ktorá rozdelí kruh K na dve časti s rovnakým obsahom?
- Sústredné kružnice 2: Zostrojte tri sústredné kružnice k, l, m so stredom v bode S a s polomermi 2cm, 3cm a 40mm.
- Tetiva 17: Akú vzdialenosť majú dotyčnica t kružnice (S, 4 cm) a tetiva tejto kružnice, ktorá má dĺžku 6 cm a je rovnobežná s dotyčnicou?
- Trávnatá plocha: Okolo kruhovej trávnatej plochy je 2 m široký chodník. Vonkajší okraj chodníka tvorí obrubník, ktorého dĺžka je 157 m. Obrubník aj vnútorná strana chodníku spolu tvoria sústredné kružnice. Vypočítajte obsah kruhovej trávnatej plochy a výsledok zaokrúhlite.
Konštrukcia Dotyčnice Ku Kružnici
Tieto úlohy demonštrujú rôzne aplikácie geometrických konceptov súvisiacich s kružnicami a ich vzájomným vzťahom.
Šperk, ktorý bude zvýrazňovať Vašu osobnosť a krásu - strieborný prsteň je ideálna voľba na každodenné nosenie alebo na špeciálne príležitosti ako je ples, oslava či pracovná schôdzka. Prsteň je vyrobený z kvalitného striebra a vyniká svojim leskom a dlhotrvácnosťou. Jeho tvar luxusného prsteňa je oživený štvorlístkom, ktorý bude prinášať šťastie po celý čas nosenia. Prstienok je vhodný ako darček pre ženu, dievča, dcéru či mamu - urobte radosť každému, na kom Vám záleží. Darujte ho k narodeninám, k výročiu, k špeciálnej príležitosti ako je Valentín alebo zásnuby.
tags: #goticky #stvorlistok #maturita
