Deliteľnosť sa zaoberá určovaním, či je jedno číslo deliteľné druhým bez zvyšku. Podmienky deliteľnosti nám pomáhajú určiť, či je jedno číslo deliteľné iným číslom bez toho, aby sme vykonávali samotné delenie. Ak je zvyšok po delení daným číslom nula, vtedy sa dá vydeliť dané číslo iným číslom bezo zvyšku.
Základné pojmy
Násobok čísla je číslo, ktoré vznikne vynásobením daného čísla iným celým číslom. Napríklad, ak platí, že 12 * 4 = 48, potom číslo 12 je násobkom čísla 48 (čo nie je pravda, správne je, že 48 je násobkom 12). A číslo 48 je násobkom čísla 4.
Deliteľ čísla je také číslo, ktorým možno dané číslo vydeliť bez zvyšku. Napríklad, ak platí, že 12 * 15 = 180, potom číslo 15 je deliteľom čísla 180. Zároveň číslo 180 je násobkom čísla 12.
Prvočísla sú čísla väčšie než 1, ktoré majú iba dva delitele: jednotku a seba samého.
Najväčší spoločný deliteľ (NSD) je najväčšie číslo, ktorým sú dve alebo viac čísel bezo zvyšku deliteľné.
Najmenší spoločný násobok (NSN) je najmenšie číslo, ktoré je násobkom dvoch alebo viac čísel.
Pravidlá deliteľnosti
Existujú jednoduché pravidlá, ktoré nám pomáhajú určiť deliteľnosť čísel bez nutnosti vykonávať zložité výpočty.
Deliteľnosť dvomi
Číslo je deliteľné dvomi, ak je párne, teda ak jeho posledná číslica je 0, 2, 4, 6 alebo 8.
Deliteľnosť tromi
Číslo je deliteľné tromi, ak je jeho ciferný súčet deliteľný tromi. Napríklad číslo 123 je deliteľné tromi, pretože jeho ciferný súčet je 1 + 2 + 3 = 6, a 6 je deliteľné tromi.
Deliteľnosť štyrmi
Prirodzené číslo je deliteľné číslom 4, ak končí na dvojčíslie deliteľné číslom 4. Teda ak končí na dvojčíslie {00, 04, 08, 12, 16, 20, 24, ...}.
Deliteľnosť piatimi
Číslo je deliteľné piatimi, ak jeho posledná číslica je 0 alebo 5.
Deliteľnosť šiestimi
Číslo je deliteľné šiestimi, ak je deliteľné súčasne dvomi aj tromi. Teda ak je číslo párne a jeho ciferný súčet je deliteľný tromi.
Deliteľnosť ôsmimi
Prirodzené číslo je deliteľné číslom 8, ak končí na trojčíslie deliteľné číslom 8. Teda ak končí na trojčíslie {000, 008, 016, 024, 032, 040, ...}.
Deliteľnosť desiatimi
Číslo je deliteľné desiatimi, ak jeho posledná číslica je 0.
Príklady a aplikácie
Nasledujúce príklady ilustrujú použitie pravidiel deliteľnosti:
Príklad 1: Deliteľnosť tromi
Ktoré z číslic môžeme doplniť za * v čísle 12*7 tak, aby sme dostali číslo deliteľné 3?
Ciferný súčet čísla je 1 + 2 + * + 7 = 10 + *. Aby bolo číslo deliteľné 3, musí byť ciferný súčet deliteľný 3. Možné hodnoty pre * sú:
- Ak * = 2, ciferný súčet je 10 + 2 = 12 (deliteľné 3). Číslo je 1227.
- Ak * = 5, ciferný súčet je 10 + 5 = 15 (deliteľné 3). Číslo je 1257.
- Ak * = 8, ciferný súčet je 10 + 8 = 18 (deliteľné 3). Číslo je 1287.
Príklad 2: Deliteľnosť šiestimi
Ktoré z číslic môžeme doplniť za * v čísle 63*2 tak, aby sme dostali číslo deliteľné 6?
Aby bolo číslo deliteľné 6, musí byť deliteľné 2 a 3. Číslo je už párne (končí na 2), takže je deliteľné 2. Teraz potrebujeme, aby bolo deliteľné 3. Ciferný súčet je 6 + 3 + * + 2 = 11 + *. Aby bol ciferný súčet deliteľný 3, môžeme doplniť:
- Ak * = 1, ciferný súčet je 11 + 1 = 12 (deliteľné 3). Číslo je 6312.
- Ak * = 4, ciferný súčet je 11 + 4 = 15 (deliteľné 3). Číslo je 6342.
- Ak * = 7, ciferný súčet je 11 + 7 = 18 (deliteľné 3). Číslo je 6372.
Príklad 3: Deliteľnosť štyrmi
Ktoré z číslic môžeme doplniť za * v čísle 61*4 tak, aby sme dostali číslo deliteľné 4?
Číslo je deliteľné 4, ak jeho posledné dvojčíslie je deliteľné 4. Možné posledné dvojčíslia sú 14, 24, 34, 44, 54, 64, 74, 84, 94. Z nich sú deliteľné 4 čísla: 24, 44, 64, 84. Teda môžeme doplniť:
- Ak * = 2, číslo je 6124 (24 je deliteľné 4).
- Ak * = 4, číslo je 6144 (44 je deliteľné 4).
- Ak * = 6, číslo je 6164 (64 je deliteľné 4).
- Ak * = 8, číslo je 6184 (84 je deliteľné 4).
Príklad 4: Najmenší spoločný násobok
Urč najmenší spoločný násobok čísel 2, 3, 5.
Násobky čísla 2: {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, ...}
Násobky čísla 3: {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...}
Násobky čísla 5: {5, 10, 15, 20, 25, 30, ...}
Najmenšie číslo, ktoré sa nachádza vo všetkých troch zoznamoch, je 30. Teda NSN(2, 3, 5) = 30.
Pravidlá deliteľnosti | Matematika 4. ročník | Brčál
Cvičenia na precvičovanie
Nasledujúce typy cvičení pomáhajú upevniť vedomosti o deliteľnosti:
Rozhodovačka
Rýchle precvičovanie výberom z dvoch možností na témy ako Párne/nepárne, Podmienky deliteľnosti, Prvočísla, Najväčší spoločný deliteľ, Najmenší spoločný násobok.
Pexeso
Hľadanie dvojíc, ktoré k sebe patria, napríklad čísla a jeho deliteľa, alebo čísla a jeho násobku.
Krok za krokom
Doplňovanie jednotlivých krokov v rozsiahlejšom postupe, napríklad pri výpočte NSD alebo NSN bez použitia mocnín alebo s použitím mocnín.
Počítanie
Cvičenia, v ktorých píšete odpoveď na klávesnici, zamerané na výpočet NSD, NSN alebo mix úloh z deliteľnosti.
Slovné úlohy
Klasické precvičovanie slovných úloh s pestrou ponukou zadaní a vysvetľujúcimi textami, ktoré aplikujú pravidlá deliteľnosti v reálnych situáciách.
tags: #delitelnost #prirodzenych #cisel #maturita
