Sústava rovníc je základným pojmom v matematike, ktorý sa zaoberá hľadaním spoločných riešení viacerých rovníc. Je to súbor niekoľkých rovníc s viacerými neznámymi, pričom zvyčajne platí, že počet rovníc sa rovná počtu neznámych. Cieľom riešenia sústavy rovníc je nájsť také hodnoty neznámych, ktoré vyhovujú všetkým rovniciam súčasne. Riešením je teda prienik množín riešení jednotlivých rovníc.
Metódy riešenia sústavy dvoch rovníc s dvomi neznámymi
Existuje niekoľko metód na riešenie sústav dvoch rovníc s dvomi neznámymi:
1. Sčítacia metóda
Pri sčítacej metóde sa rovnice upravia (napríklad vynásobením vhodnými číslami) tak, aby sa pri ich sčítaní jedna neznáma eliminovala. Získame tým jednu rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime a následne dosadíme späť do jednej z pôvodných rovníc.
Príklad:
x - y = 7
x + 2y = 1
Upravíme prvú rovnicu vynásobením číslom -1:
-x + y = -7
x + 2y = 1
Sčítame obe rovnice:
-x + x + y + 2y = -7 + 1
3y = -6
y = -2
Dosadíme hodnotu y = -2 späť do prvej rovnice:
x - (-2) = 7
x + 2 = 7
x = 5
Riešením sústavy je usporiadaná dvojica (5, -2).
2. Dosadzovacia metóda
Pri dosadzovacej metóde z jednej rovnice vyjadríme jednu neznámu a dosadíme ju do druhej rovnice. Tým získame rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime a následne dopočítame druhú neznámu.
3. Porovnávacia metóda
V rámci porovnávacej metódy z oboch rovníc vyjadríme tú istú neznámu. Tieto výrazy potom dáme do rovnosti, čím získame rovnicu s jednou neznámou.
4. Grafická metóda
Grafická metóda spočíva v znázornení rovníc ako priamok v súradnicovej rovine. Riešením sústavy sú potom prieniky týchto priamok.
Sústava nerovníc
Sústava nerovníc je súbor niekoľkých nerovníc. Riešením sú všetky usporiadané dvojice (x; y), ktoré vyhovujú všetkým nerovniciam súčasne. Z grafického hľadiska ide o prienik oblastí (polrovín), ktoré jednotlivé nerovnice určujú.
Metódy riešenia sústavy nerovníc
Sústavy nerovníc sa riešia výlučne graficky. Znázorňujú sa oblasti riešení jednotlivých nerovníc a hľadá sa ich spoločná časť.
Možnosti riešenia sústavy dvoch nerovníc:
- Nekonečne veľa riešení: Môže sa jednať o časť roviny (ak sú priamky rôznobežné alebo rovnobežné a polroviny sa prekrývajú) alebo o priamku (ak je spoločná hranica oboma zahrnutá v nerovnostiach typu „≤“, „≥“).
- Žiadne riešenie: Nastáva v prípade, ak sa oblasti (polroviny) vôbec neprekrývajú.
Solving Systems of Linear Equations by Graphing │Algebra
Sústava rovnice a nerovnice s dvomi neznámymi
Riešením sústavy, ktorá obsahuje jednu rovnicu a jednu nerovnicu s dvomi neznámymi, môže byť:
- Priamka
- Polpriamka
- Žiadne riešenie
Závisí to od vzájomnej polohy priamky (daná rovnicou) a oblasti určenej nerovnicou.
tags: #sustavy #rovnic #a #nerovnic #maturita #teoria
